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1
Chauffez la cocotte à feu moyen puis versez l'huile d'olive et le beurre; laissez le beurre mousser sans brunir afin de créer une matière grasse parfumée pour saisir la viande. Pendant ce temps, tamponnez la paupiette avec un papier absorbant pour qu'elle dore uniformément lorsqu'elle touchera la poêle. Farinez-la très légèrement en secouant l'excédent pour obtenir une fine pellicule qui aidera à obtenir une croûte dorée et à lier ensuite la sauce.
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2
Augmentez légèrement le feu et posez la paupiette dans la cocotte chaude; ne la bougez pas pendant 2 à 3 minutes pour permettre la réaction de Maillard. Retournez-la à l'aide d'une pince et dorez toutes les faces jusqu'à obtenir une coloration homogène, y compris les bords. Une fois bien dorée, retirez-la et réservez-la sur une assiette chaude pour qu'elle conserve ses jus.
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3
Dans la même cocotte, baissez le feu à moyen-doux et ajoutez l'oignon émincé; remuez pour décoller les sucs laissés par la viande. Ajoutez ensuite la carotte coupée en rondelles régulières et l'ail finement haché, puis faites suer le tout sans coloration excessive: l'objectif est d'extraire les sucres et les arômes tout en gardant une légère texture. Si nécessaire, ajoutez une noisette de beurre pour aider la cuisson et récupérer les saveurs caramélisées.
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4
Incorporez les champignons émincés et augmentez un peu le feu pour faire évaporer l'eau qu'ils dégagent; poursuivez la cuisson environ 4 à 6 minutes jusqu'à ce qu'ils soient tendres et que leur goût soit concentré. Saupoudrez la farine sur les légumes et mélangez vigoureusement pendant une minute pour torréfier légèrement la farine: cela permettra d'épaissir la sauce sans goût farineux.
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5
Remettez la paupiette dans la cocotte, ajustez sa position au centre et versez le vin rouge de Bourgogne en décollant bien les sucs avec une cuillère en bois (déglaçage). Ajoutez le bouquet garni, salez et poivrez; portez à légère ébullition pour évaporer l'alcool et concentrer les arômes avant de réduire le feu.
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6
Couvrez la cocotte et laissez mijoter à feu très doux pendant 1h30 en maintenant une légère frémissement: la cuisson lente rendra la viande fondante. À mi-cuisson, retournez délicatement la paupiette pour une cuisson homogène et goûtez le jus pour rectifier l'assaisonnement si nécessaire.
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7
À la fin de la cuisson, retirez la paupiette et maintenez-la au chaud. Si vous souhaitez une sauce lisse, passez le jus à travers une passoire fine en pressant les légumes pour en extraire la richesse; sinon, laissez-la telle quelle pour une texture rustique. Portez la sauce à petits frémissements si besoin pour la réduire légèrement et ajustez le sel et le poivre avant de napper la paupiette et de servir immédiatement avec des pommes de terre vapeur ou des pâtes fraîches.