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1
Préchauffer le four à 180°C (thermostat 6) en plaçant une grille au centre pour assurer une cuisson homogène ; maintenir la porte fermée pendant la montée en température afin d'obtenir une pâte bien feuilletée.
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2
Peler les coings à l'aide d'un couteau d'office ou d'un épluche-légumes robuste, enlever le cœur et les pépins avec une petite cuillère, puis détailler la chair en dés d'environ 1 cm pour garantir une cuisson régulière et une finition fondante.
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3
Mettre les morceaux de coing dans une casserole à fond épais avec le beurre en parcelles, le sucre, la cannelle et le jus de citron ; couvrir partiellement et cuire à feu moyen-doux en remuant de temps en temps pendant environ 20 minutes, écraser délicatement avec une spatule pour obtenir une compote encore légèrement texturée et évaporer l'excès d'humidité sans la dessécher.
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4
Sur un plan de travail légèrement fariné, dérouler la pâte feuilletée en conservant son froid pour préserver le feuilletage ; si nécessaire, tapoter la pâte avec un rouleau en effectuant de légers mouvements pour lui donner la forme souhaitée sans trop la détendre.
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5
Déposer la compote tiédie au centre de la pâte en formant un dôme régulier sur un rectangle ou un cercle, en laissant une bordure d'au moins 2 cm tout autour pour pouvoir refermer le pâté sans fuite de garniture.
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6
Replier les bords de la pâte vers le centre en effectuant des plis réguliers ou en roulant la bordure sur elle-même pour obtenir une soudure nette ; presser avec les doigts ou la pointe d'une fourchette pour sceller et chasser l'air, puis lisser les jointures pour une finition soignée.
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7
Battre l'œuf dans un bol pour obtenir une dorure homogène et, à l'aide d'un pinceau, badigeonner délicatement la surface et les bords du pâté en veillant à ne pas laisser couler d'œuf dans les jointures afin d'éviter que la soudure ne se desserre à la cuisson.
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8
Enfourner le pâté sur une plaque recouverte de papier cuisson et cuire 25 à 30 minutes : la pâte doit être gonflée et d'un brun doré uniforme ; si le dessus colore trop vite, couvrir légèrement d'une feuille de papier aluminium et poursuivre la cuisson jusqu'à obtenir une belle coloration sans brûler.
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9
Sortir le pâté du four et le laisser reposer sur une grille 10 minutes pour que la chaleur résiduelle termine la cuisson de la garniture et que la pâte se raffermisse légèrement ; servir tiède pour révéler les arômes de coing et la texture fondante de la compote.