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1
Préchauffer le four à 200°C pour obtenir une cuisson homogène et une pâte bien croustillante ; placer la grille au centre du four et préparer une plaque recouverte de papier cuisson ou d'une feuille silicone.
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2
Chauffer une poêle antiadhésive à feu vif avec l'huile d'olive, saisir le filet mignon pour créer une belle croûte dorée : cuire 3 à 4 minutes de chaque côté en veillant à tourner délicatement pour colorer sans brûler, assaisonner de sel et de poivre en fin de cuisson puis retirer pour laisser tiédir sur une grille afin que les jus se répartissent.
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3
Étaler la pâte feuilletée sur un plan de travail légèrement fariné en veillant à conserver une épaisseur régulière ; répartir le pesto au centre en laissant une bordure libre d'environ 2 cm afin de pouvoir fermer le paquet sans que la garniture ne s'échappe.
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4
Poser le filet mignon tiède sur le lit de pesto, en plaçant la jointure du filet vers le bas si besoin pour un meilleur maintien ; ajuster la quantité de pesto autour pour équilibrer les saveurs sans détremper la pâte.
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5
Enfermer le filet mignon dans la pâte en rabattant les bords vers le centre, pincer et souder les jonctions avec les doigts ou la pointe d'un couteau pour obtenir un paquet étanche ; retourner délicatement pour que la soudure soit en dessous et lisser la surface pour éliminer les plis.
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6
Dorer la surface avec le jaune d'œuf battu à l'aide d'un pinceau, en appliquant une couche homogène pour favoriser une coloration uniforme ; à l'aide d'un couteau bien aiguisé, pratiquer quelques incisions superficielles pour laisser échapper la vapeur et éviter que la pâte ne se déforme.
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7
Enfourner sur la plaque préchauffée et cuire 20 à 25 minutes jusqu'à ce que la pâte soit gonflée, brillante et profondément dorée ; surveiller la cuisson en fin de temps et, si nécessaire, couvrir légèrement d'une feuille d'aluminium pour prévenir un brunissement excessif.
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8
Laisser reposer le feuilleté 5 minutes hors du four pour que les jus se stabilisent, puis découper en tranches épaisses à l'aide d'un couteau à lame longue et tranchante ; servir immédiatement pour profiter du contraste entre la pâte croustillante, la viande fondante et le pesto aromatique.