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1
Préchauffez le four à 180°C en plaçant la grille au centre pour assurer une cuisson homogène de la pâte.
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2
Séchez les morceaux de coq avec du papier absorbant, puis faites chauffer le beurre dans une grande cocotte à feu moyen-vif. Saisissez les morceaux par petites quantités pour obtenir une belle coloration dorée sur toutes les faces sans surcharger la cocotte ; réservez-les sur une assiette.
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3
Dans la même cocotte, réduisez le feu à moyen et faites fondre l'oignon finement émincé, la carotte coupée en petits dés et l'ail haché. Cuisez en remuant régulièrement jusqu'à ce que les légumes deviennent tendres et translucides, environ 5 minutes, pour développer des arômes doux et légèrement caramélisés.
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4
Remettez les morceaux de coq dans la cocotte, saupoudrez la farine sur l'ensemble et remuez vivement pendant 1 à 2 minutes pour enrober la viande et cuire la farine : cela va former la base de la sauce et éliminer le goût de farine crue.
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5
Versez le bouillon de volaille progressivement en grattant bien le fond de la cocotte avec une cuillère en bois pour décoller les sucs, tout en émulsionnant la farine afin d'obtenir une sauce lisse. Ajustez la consistance en ajoutant le bouillon par petites quantités si nécessaire.
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6
Ajoutez les champignons de Paris émincés et la branche de thym entière, salez et poivrez. Portez à léger frémissement, couvrez partiellement et laissez mijoter à feu doux afin que la viande s'attendrisse et que la sauce concentre ses saveurs, environ 30 minutes.
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7
Vérifiez la cuisson : la viande doit être tendre et la sauce nappante. Retirez le thym et rectifiez l'assaisonnement si besoin. Laissez tiédir légèrement pour faciliter le montage.
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8
Étalez la pâte brisée sur un plan légèrement fariné en veillant à garder une épaisseur régulière. Déposez la garniture tiède au centre en évitant l'excès de liquide ; façonnez ensuite la pâte en enveloppe hermétique—pincée et soudée—de manière à emprisonner la farce sans fissure.
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9
Appliquez le jaune d'œuf battu sur la surface de la pâte à l'aide d'un pinceau pour obtenir une belle dorure et, si vous le souhaitez, marquez légèrement le dessus à la pointe d'un couteau pour laisser échapper un peu de vapeur pendant la cuisson.
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10
Enfournez la préparation sur une plaque légèrement huilée ou recouverte de papier cuisson et faites cuire 25 minutes environ, jusqu'à ce que la pâte soit bien dorée et croustillante. Surveillez la coloration et, si nécessaire, couvrez légèrement avec une feuille de papier aluminium pour éviter un brunissement excessif.
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11
Sortez le coq en pâte du four et laissez reposer 5 minutes sur une grille : cela stabilise la sauce et facilite la découpe tout en préservant le croustillant de la pâte.